2025年天津高考数学真题：试卷及答案

天津高考数学试题注重对基础知识、逻辑推理和综合应用能力的考查。本文整理了2025年天津高考数学真题及参考答案，同时提供Word、PDF格式试卷及答案下载，方便考生对照试卷核查作答情况，梳理函数、数列、立体几何、概率统计等相关知识点。无论是考后估分、错题整理，还是后续复习备考，都可以结合试题与答案查找薄弱环节，进一步明确复习方向。

2025年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷回忆版）数学试题

本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第1卷1至3页第Ⅱ卷4至6页.

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件 A,B 互斥，那么$P(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})=P(\mathrm{A})+P(\mathrm{B})$

•如果事件 A,B 相互独立，那么$P(\mathrm{A}\mathrm{B})=P(\mathrm{A})P(\mathrm{B})$

•棱柱的体积公式$V=\frac{1}{3} \mathrm{S}h$，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．

•圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3} \mathrm{S}h$，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、已知集合$U=\{1,2,3,4,5\},\mathrm{A}=\{1,3\},\mathrm{B}=\{2,3,5\}$，则$\partial_{\mathrm{U}}(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})=$（）

A.{1,2,3,4}

B.{2,3,4}

C.{2,4}

D.{4}

2、设x∈R ，则“ x=0”是“sin2x=0 ”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3、已知函数y=f(x) 的图象如下，则f(x) 解析式可能为（）

A.$f(x)=\frac{x}{1-|\mathrm{x}|}$

B.$f(x)=\frac{x}{|\mathrm{x}|-1}$

C.$\mathrm{C}. f(x)=\frac{|\mathrm{x}|}{1-\mathrm{x}^2}$

D.$\mathrm{D}. f(x)=\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}^2-1}$

4、若m为直线，$\mathrm{\alpha},\mathrm{\beta}$为两个平面，则下列结论中正确的是（）

A.$\mathrm{若}\ m\parallel \mathrm{\alpha},n\subset \mathrm{\alpha},\mathrm{则}\ m\parallel n$

B.$\mathrm{若}\ m\perp \mathrm{\alpha},m\perp \mathrm{\beta},\mathrm{则}\ \mathrm{\alpha}\perp \mathrm{\beta}$

C.$\mathrm{若}\ m\parallel \mathrm{\alpha},m\perp \mathrm{\beta},\mathrm{则}\ \mathrm{\alpha}\perp \mathrm{\beta}$

D.$\mathrm{若}\ m\subset \mathrm{\alpha},\mathrm{\alpha}\perp \mathrm{\beta},\mathrm{则}\ m\perp \mathrm{\beta}$

5、下列说法中错误的是（）

A. 若$X\sim \mathrm{N}(\mathrm{\mu},\mathrm{\sigma}^2)$，则$P(X\leq \mathrm{\mu}-\mathrm{\sigma})=P(X\geq \mathrm{\mu}+\mathrm{\sigma})$

B. 若$X:\mathrm{N}(1,2^2), Y:\mathrm{N}(2,2^2)$，则P(X<1)<P(Y<2)

C. |r|越接近1，相关性越强

D. |r|越接近0，相关性越弱

6、$S_{\mathrm{n}}=-\mathrm{n}^2+8\mathrm{n}$，则数列{|a_n|} 的前12项和为（）

A. 112

B. 48

C. 80

D. 64

7、函数$f(x)=0.3^{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{x}}$的零点所在区间是（）

A.(0,0.3)

B.(0.3,0.5)

C.(0.5,1)

D.(1,2)

8、$f(x)=\sin(\mathrm{\omega}x+\mathrm{\varphi})(\mathrm{\omega}>0,-\mathrm{\pi}<\mathrm{\varphi}<\mathrm{\pi})$，在$\left[-\dfrac{5\pi}{12},\dfrac{\pi}{12}\right]$上单调递增，且$x=\dfrac{\pi}{12}$为它的一条对称轴，$\left( \dfrac{\pi}{3},\ \mathrm{0} \right)$是它的一个对称中心，当$x\in\left[0,\dfrac{\mathrm{\pi}}{2}\right]$时， f(x)的最小值为（）

A.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

B.$-\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$

C.1

D.0

9、双曲线$\dfrac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}-\dfrac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{b}^2}=1\ (\mathrm{a}>0,\mathrm{b}>0)$的左、右焦点分别为F₁,F₂ ，以右焦点F₂ 为焦点的抛物线$\mathrm{y}^2=2\mathrm{p}\mathrm{x}\ (\mathrm{p}>0)$与双曲线交于第一象限的点P，若$\left|\mathrm{P}\mathrm{F}_1\right| + \left|\mathrm{P}\mathrm{F}_2\right| = 3\left|\mathrm{F}_1\mathrm{F}_2\right|$，则双曲线的离心率e=（）

A. 2

B. 5

C.$\dfrac{\mathrm{\sqrt{2}}+1}{\mathrm{2}}$

D.$\dfrac{\mathrm{\sqrt{5}}+1}{\mathrm{2}}$

第Ⅱ卷（非选择题）

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共11小题，共105分．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

10、已知i是虚数单位，则$\left| \dfrac{\mathrm{3}+\mathrm{i}}{\mathrm{i}} \right| =$________．

11、在(x-1)⁶ 的展开式中， x³项的系数为________．

12、$\mathrm{l}_1:\mathrm{x}-\mathrm{y}+6=0$，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与$(\mathrm{x}+1)^2+(\mathrm{y}-3)^2=\mathrm{r}^2$交于C、D两点，|AB|=3|CD| ，则r= _________．

13、小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)= _______．

14、VABC中，D为AB边中点，$\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{E}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\vec{b}$，则$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}=$______（用$\vec{\mathrm{a}},\ \vec{\mathrm{b}}$表示），若$\left|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}\right|=5$，AE⊥CB ，则$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}} =$_______．

15、若a,b∈R ，对$\forall \mathrm{x} \in [-2,2],$，均有$(\mathrm{2a}+\mathrm{b})\mathrm{x}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}-\mathrm{a}-1\leq0$恒成立，则2a+b的最小值为_______．

三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知$\mathrm{a}\sin \mathrm{B}=\sqrt{3}\mathrm{b}\cos \mathrm{A}$，c-2b=1 ，a=$\sqrt{\mathrm{7}}$．

（1）求A的值；

（2）求c的值；

（3）求sin(A+2B) 的值．

17、正方体$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$的棱长为4，E、F分别为A₁D₁,C₁B₁中点，CG=3GC₁ ．

$17、正方体$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$的棱长为4，E、F分别为A1D1,C1B1中点，CG=3GC1 ．$

（1）求证： GF⊥平面FBE ；

（2）求平面FBE与平面EBG 夹角的余弦值；

（3）求三棱锥D - FBE 的体积．

18、已知椭圆$\dfrac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\dfrac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{b}^2}=1\ (\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$的左焦点为F，右顶点为A，P为x=a上一点，且直线PF 的斜率为$\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}$，△PFA的面积为$\dfrac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}$，离心率为$\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$ .

（1）求椭圆的方程；

（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB .

19、已知数列{a_n} 是等差数列，{b_n}是等比数列，$\mathrm{a}_1-\mathrm{b}_1-2,\mathrm{a}_2-\mathrm{b}_2+1,\mathrm{a}_3-\mathrm{b}_3$．

（1）求{a_n} ，{b_n}的通项公式；

（2） $\forall n \in \mathrm{N}^*,\ I \in \{ \mathrm{0},\mathrm{1} \}$，有$T_{\mathrm{n}}=\left\{\mathrm{p}_{1}\mathrm{a}_{1}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{p}_{2}\mathrm{a}_{2}\mathrm{b}_{2}+\dots+\mathrm{p}_{\mathrm{n}-1}\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}\mathrm{b}_{\mathrm{n}-1}+\mathrm{p}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\mid \mathrm{p}_{1},\mathrm{p}_{2},\dots,\mathrm{p}_{\mathrm{n}-1},\mathrm{p}_{\mathrm{n}}\in I\right\}$，

（i）求证：对任意实数t∈T_n ，均有t<a_n+1b_n+1 ;

（ii）求T_n 所有元素之和．

20、已知函数$\mathrm{f}(\mathrm{x}) = \mathrm{a}\mathrm{x} - (\ln \mathrm{x})^2$

（1）a=1时，求f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程；

（2）f(x) 有3个零点，x₁,x₂,x₃且(x₁<x₂<x₃) .

（i）求a的取值范围；

（ii）证明$(\mathrm{ln}\ \mathrm{x}_2-\mathrm{ln}\ \mathrm{x}_1)\cdot\mathrm{ln}\ \mathrm{x}_3<\dfrac{\mathrm{4}\mathrm{e}}{\mathrm{e}-\mathrm{1}}$．