2025年北京高考数学真题：试卷及答案

2025年北京高考数学真题及答案已整理在本页面，同时提供Word、PDF格式试卷及答案下载，方便考生及时查阅。复习时，可以先独立完成试题，再对照参考答案检查思路与结果，尤其留意解题过程中容易出现的计算错误、条件遗漏和推理不严谨等问题。对于正在准备高考的学生来说，研究北京卷的真实题目，有助于了解本地高考的考查形式，并通过错题分析检验知识掌握情况，为后续专题训练积累经验。

2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学试题

本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1、集合$M = \{ x \mid 2x - 1 > 5 \}, N = \{ 1, 2, 3 \}$，则$M \cap N =$（）

A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{3}

D.$\varnothing$

2、已知复数z满足i.z+2=2i ，则|z|= （）

A.$\sqrt{2}$

B.$2 \sqrt{2}$

C. 4

D. 8

3、双曲线 x²-4y²=4 离心率为（）

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$

C.$\frac{5}{4}$

D.$\sqrt{5}$

4、为得到函数y=9^x 的图象，只需把函数y=3^x 的图象上的所有点（）

A. 横坐标变成原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变

B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变

C. 纵坐标变成原来的$\frac{1}{3}$倍，横坐标不变

D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变

5、已知{a_n} 是公差不为0的等差数列，a₁=-2 ，若a₃,a₄,a₆ 成等比数列，则a₁₀= （）

A.-20

B.-18

C. 16

D. 18

6、已知a>0,b>0 ，则（）

A.$a^{2} + b^{2} > 2ab$

B.$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{1}{ab}$

C.$a + b > \sqrt{ab}$

D.$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le \frac{2}{\sqrt{ab}}$

7、已知函数f(x) 的定义域为D，则“函数f(x) 的值域为R ”是“对任意M∈R ，存在x₀∈D ，使得 ”|f(x₀)|>M的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

8、设函数$f(x)=\sin(\omega x)+\cos(\omega x)(\omega>0)$，若f(x+π)=f(x) 恒成立，且f(x) 在$\left[ 0, \frac{\pi}{4} \right]$上存在零点，则$\omega$的最小值为（）

A. 8

B. 6

C. 4

D. 3

9、在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog₂N （单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从10⁶ 个单位增加到个单位时1.024×10⁹，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×10⁹ 个单位增加到4.096×10⁹ 个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）

A. 2

B. 4

C. 20

D. 40

10、已知平面直角坐标系$xOy$中，$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = \sqrt{2},\ |\overrightarrow{AB}| = 2$，设 C(3,4)，则$|2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}|$的取值范围是（）

A.[6,14]

B.[6,12]

C.[8,14]

D.[6,12]

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11、抛物线$y^{2}=2px(p>0)$的顶点到焦点的距离为3，则 ________．

12、已知$(1-2x)^{4}=a_{0}-2a_{1}x+4a_{2}x^{2}-8a_{3}x^{3}+16a_{4}x^{4}$，则a₀= ________；a₁+a₂+a₃+a₄= ________．

13、已知$\alpha, \beta \in [0, 2\pi]$，且$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha-\beta), \cos(\alpha+\beta)\ne\cos(\alpha-\beta)$，写出满足条件的一组$\alpha =$________，$\beta =$_________．

14、某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面ARF⊥ 平面ABC，平面TCD⊥ 平面ABC，AB⊥BC ，AB//RS//EF//CD ，AF//ST//BC//ED，若AB=BC=8，AF=CD=4，AR=RF=TC=TD=$\frac{5}{2}$，则该多面体的体积为_________．

$14、某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面ARF⊥ 平面ABC，平面TCD⊥ 平面ABC，AB⊥BC ，AB//RS//EF//CD ，AF//ST//BC//ED，若AB=BC=8，AF=CD=4，AR=RF=TC=TD=$\frac{5}{2}$，则该多面体的体积为_________．$

15、关于定义域为R的函数，以下说法正确的有________．

①存在在R上单调递增函数使得恒成立；

②存在在R上单调递减的函数使得恒成立；

③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；

④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16、在$\mathrm{V}ABC$中，$\cos A = -\frac{1}{3},\ a \sin C = 4\sqrt{2}$．

（1）求c；

（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得$\mathrm{V}ABC$ 存在，求BC的高．

① a=6 ；

② $b \sin C = \frac{10\sqrt{2}}{3}$；

③ $\mathrm{V}ABC$面积为$10\sqrt{2}$．

17、四棱锥$\mathrm{P}-ABCD$中，$\mathrm{V}ACD \text{与} \mathrm{V}ABC$为等腰直角三角形，$, \angle ADC = 90^\circ, \angle BAC = 90^\circ$，E为BC 中点．

$17、四棱锥$\mathrm{P}-ABCD$中，$\Box ACD \text{与} \mathrm{V}ABC$为等腰直角三角形，$, \angle ADC = 90^\circ, \angle BAC = 90^\circ$，E为BC 中点．$

（1）F为的中点，G为PE的中点，证明： FG//面PAB；

（2）若PA⊥ 面ABCD，PA=AC ，求AB与面PCD所成角的正弦值．

18、有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．

（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．

（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．

（3）若甲校同学掌握这个知识点则有100% 的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85% 的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p₁ ，乙校学生掌握该知识点的概率为p₂ ，试比较p₁ 与p₂ 的大小（结论不要求证明）

19、已知$E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，

（1）求椭圆方程；

（2）设O为原点，$M(x_0, y_0) \ (x_0 \neq 0)$为椭圆上一点，直线$x_0 x + 2 y_0 y - 4 = 0$与直线y=2 ，y=-2 交于A，B．$\triangle OAM \text{与} \triangle OBM$的面积为S₁,S₂ ，比较$\frac{S_1}{S_2} \text{与} \frac{|OA|}{|OB|}$的大小．

20、函数f(x) 的定义域为，$(-1,+\infty), f(0)=0, f'(x)=\frac{\ln(1+x)}{1+x}, l_1$为$A(a, f(a)) \ (a \neq 0)$处的切线．

（1）$f'(x)$的最大值；

（2）证明：当-1<a<0 时，除点A外，曲线y=f(x) 均在$l_1$上方；

（3）若a>0 时，直线$l_2$ 过A且与$l_1$ 垂直，$l_1$ ，$l_2$ 分别于x轴的交点为$x_1$ 与$x_2$ ，求$\frac{2a - x_1 - x_2}{x_2 - x_1}$的取值范围．

21、$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}, M = \{(x_i, y_i) \mid x_i \in A, y_i \in A\}$，从M中选出n个有序数对构成一列：$(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$．相邻两项$(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1})$满足：$\begin{vmatrix} x_{i+1} - x_i \end{vmatrix} = 3 \quad \begin{vmatrix} x_{i+1} - x_i \end{vmatrix} = 4$，$\begin{vmatrix} y_{i+1} - y_i \end{vmatrix} = 4 \text{或} \begin{vmatrix} y_{i+1} - y_i \end{vmatrix} = 3$，称为k列．

（1）若k列的第一项为(3,3) ，求第二项．

（2）若$\tau$为k列，且满足i为奇数时，$x_i \in \{1, 2, 7, 8\}$：i为偶数时，$x_i \in \{3, 4, 5, 6\}$ ；判断：(3,2) 与(4,4) 能否同时在$\tau$中，并说明；

（3）证明：M中所有元素都不构成k列．