2025年高考数学真题（新高考Ⅰ卷）试卷、答案及解析

2025年新高考Ⅰ卷数学真题适合考生在考后复盘和高三阶段的专项训练中使用。本页面汇总试卷、参考答案及题目解析，同时提供Word、PDF格式试卷及答案下载，便于从题目条件入手，逐步梳理解题过程，弄清每一步运算和推理的依据。新高考Ⅰ卷适用于河北、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东等地区。考生可结合自身作答情况分析失分原因，区分是基础知识不牢、解题方法不熟悉，还是时间分配不合理，从而提高后续练习的针对性。

2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新Ⅰ卷）数学试题

祝大家学习生活愉快★

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。

一、选择题: 本大题共8 小题, 每小题5 分, 共计40 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1、 (1+5i) i的虚部为 ( )

A. - 1

B. 0

C. 1

D. 6

2、设全集U = {x|x 是小于9 的正整数}, 集合A = {1,3,5}, 则$\int_{\mathrm{U}} \mathrm{A}$中元素个数为( )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 8

3、若双曲线C 的虚轴长为实轴长的$\sqrt{\mathrm{7}}$倍, 则C 的离心率为( )

A. $\sqrt{\mathrm{2}}$

B. 2

C. $\sqrt{\mathrm{7}} $

D. 2$\sqrt{\mathrm{2}}$

4、若点 (a,0) ( a>0 ) 是函数$y=2\mathrm{tan}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$的图象的一个对称中心, 则a 的最小值为( )

A. $\dfrac{\mathrm{\pi}}{\mathrm{4}}$

B. $\dfrac{\mathrm{\pi}}{\mathrm{2}}$

C. $\dfrac{\mathrm{\pi}}{\mathrm{3}}$

D. $\dfrac{\mathrm{4\pi}}{\mathrm{3}}$

5、设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时, f(x) =5-2x,则$f\left(-\dfrac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)$= ( )

A. - $\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$

B. - $\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}$

C. $\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}$

D. $\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$

6、帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位( m/s )，则真风为 ( )

等级	风速大小 m/s	名称
2	1. 1~3.3	轻风
3	3. 4~5.4	微风
4	5.5~7.9	和风
5	8.0~10.1	劲风

A. 轻风

B. 微风

C. 和风

D. 劲风

7、若圆$x^{\mathrm{2}}+(y+\mathrm{2})^{\mathrm{2}}=r^{\mathrm{2}}(\mathrm{r}>\mathrm{0})$上到直线$y=\mathrm{\sqrt{3}}x+\mathrm{2}$的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值范围是( )

A. (0,1)

B. (1,3)

C. (3,+∞)

D. (0,+∞)

8、若实数x,y,z 满足$\mathrm{2}+\log_{\mathrm{2}}x=\mathrm{3}+\log_{\mathrm{3}}y=\mathrm{5}+\log_{\mathrm{5}}z$, 则x,y,z 的大小关系不可能是( )

A. x > y > z

B. x > z > y

C. y > x > z

D. y > z > x

二、选择题: 本题共3 小题, 每小题6 分, 共18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分。

9、在正三棱柱ABC - A₁B₁C₁ 中, D 为BC 中点, 则( )

A. AD ⊥ A₁C

B. BC ⊥ 平面AA₁D

C. CC₁ // 平面AA₁D

D. AD // A₁B₁

10、设抛物线$C:y^{\mathrm{2}}=\mathrm{6}x$的焦点为F, 过F 的直线交C 于A、B, 过F 且垂直于AB 的直线交准线$l:x=-\dfrac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}$于E，过点A 作准线l 的垂线，垂足为D, 则( )

A. |AD| = |AF|

B. |AE| = |AB|

C. |AB| ≥6

D. |AE| ⋅ |BE| ≥18

11、已知△ABC 的面积为$\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}$,若cos2A+cos2B+2sinC =2,cosAcosBsinC= $\dfrac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}$, 则( )

A. sinC = sin²A + sin²B

B. AB = $\mathrm{\sqrt{2}}$

C. sinA + sinB = $\dfrac{\mathrm{\sqrt{6}}}{\mathrm{2}}$

D. AC² + BC² = 3

三、填空题: 本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.

12、若直线y = 2x + 5 是曲线$y=\mathrm{e}^{x}+x+a$的切线, 则a = .

13、若一个正项等比数列的前4 项和为4,前8 项和为68, 则该等比数列的公比为 .

14、一个箱子里有5 个相同的球, 分别以1 ∼ 5 标号, 从中有放回地取三次, 记至少取出一次的球的个数X,则数学期望E(X) = .

四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、(13 分) 为研究某乘病与超声波检查结果的关系, 从做过超声波检查的人群中随机调查了1000 人, 得到如下列联表：

超声波检查结果组别	正常	不正常	合计
患该疾病	20	180	200
未患该疾病	780	20	800
合计	800	200	1000

(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P, 求P 的估计值；

(2) 根据小概率值α = 0.001 的独立性检验, 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

附：$\chi^{\mathrm{2}}=\dfrac{n(ad-bc)^{\mathrm{2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，

$P(\chi^{\mathrm{2}}\geqslant k)$	0.005	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

16、(15 分)

设数列 { a_n }满足a1=3，$\dfrac{a_{\mathrm{n+1}}}{n}=\dfrac{a_{n}}{n+\mathrm{1}}+\dfrac{\mathrm{1}}{n(n+\mathrm{1})}$.

(1) 证明: { na_n }为等差数列；

(2) 设f(x) =$a_{\mathrm{1}}x+a_{\mathrm{2}}x^{\mathrm{2}}+\cdots+a_{m}x^{m}$,求f'(-2).

17、(15 分)

如图所示的四棱锥P - ABCD 中, PA ⊥ 平面ABCD, BC // AD,AB ⊥ AD.

(1) 证明: 平面PAB ⊥ 平面PAD；

(2) 若PA = AB = $\mathrm{\sqrt{2}}$,AD = $\mathrm{\sqrt{3}}$+ 1,BC = 2,P,B,C,D 在同一个球面上, 设该球面的球心为O.

(i) 证明:O 在平面ABCD 上；

(ii) 求直线AC 与直线PO 所成角的余弦值.

18、(17 分)

设椭圆$C:\dfrac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}+\dfrac{y^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}$=1（ a>b>0）的离心率为 $\dfrac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}$ ,下顶点为A，右顶点为B，|AB| = $\mathrm{\sqrt{10}}$.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR| ⋅ |AP| =3.

(i) 设P(m,n),求点R的坐标(用m,n表示);

(ii) 设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.

19、(17 分)

设函数f(x) =5cosx-cos5x.

(1) 求f(x)在 $\left[\mathrm{0},\dfrac{\pi}{\mathrm{4}}\right]$的最大值；

(2) 给定θ∈( 0,π ),设a为实数,证明:存在y∈[ a-θ,a+θ ],使得cosy≤cosθ；

(3) 若存在φ使得对任意x,都有5cosx-cos(5x+φ) ≤b,求b的最小值.