2025年高考数学真题（新高考Ⅱ卷）试卷、答案及解析

对于参加新高考Ⅱ卷考试的考生，2025年数学真题是检验知识掌握程度、总结应试经验的重要资料。本文整理了新高考Ⅱ卷数学试卷、参考答案和详细解析，同时提供Word、PDF格式试卷及答案下载，方便读者逐题核对，并进一步理解相关知识点的运用方法。新高考Ⅱ卷适用于云南、广西、贵州、四川、西藏、山西、甘肃、内蒙古、吉林、宁夏、新疆、陕西、海南、辽宁、重庆、黑龙江、青海等地区。建议先独立答题，再结合解析复盘重点题目，及时整理易错知识点，为后续复习提供参考。

2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新Ⅱ卷）数学试题

★祝大家学习生活愉快★

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，每小题只有一个选项符合要求

1、样本数据2,8,14,16,20 的平均数为( )

A. 8

B. 9

C. 12

D. 18

2、已知z = 1 + i，则$\frac{1}{\mathrm{z} - 1}$= ( )

A. -i

B. i

C. -1

D. 1

3、已知集合A = {-4,0,1,2,8},B= $\{\, x \mid x^{\mathrm{3}} = x \,\}$，则A∩B= ( )

A. {0,1,2}

B. {1,2,8}

C. {2,8}

D. {0,1}

4、不等式$\frac{\mathrm{x} - 4}{\mathrm{x} - 1} \geq 2$的解集是( )

A. {x| -2 ≤ x ≤ 1}

B. {x|x ≤-2}

C. {x| -2 ≤ x < 1}

D. {x|x > 1}

5、在ΔABC 中，BC = 2,AC = 1 + $\sqrt{\mathrm{3}},AB = \sqrt{\mathrm{6}}$，则A = ( )

A. 45°

B. 60°

C. 120°

D. 135°

6、设抛物线$\mathrm{C}: \mathrm{y}^{\mathrm{2}} = 2\mathrm{p}\mathrm{x} \left( \mathrm{p} > 0 \right)$的焦点为F，点A 在C 上，过A 作C 准线的垂线，垂足为B. 若直线BF 的方程为y =-2x + 2，则|AF| = ( )

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

7、记${\mathrm{S_n}}$为等差数列｛${\mathrm{a_n}}$｝的前n项和，若${\mathrm{S_3}}$=6,${\mathrm{S_5}}$=-5，则${\mathrm{S_6}}$= ( )

A. -20

B. -15

C. -10

D. -5

8、已知0 < α < π,$\mathrm{cos}\frac{\mathrm{\alpha}}{2} = \frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{5}}$，则$\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)$= ( )

A. $\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{10}}$

B. $\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{5}}$

C. $\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{10}}$

D. $\frac{\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{10}}$

二、多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。

9、记$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$为等比数列 $\{\, \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \,\}$的前n项和，q为 $\{\, \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \,\}$的公比，q>0.若$\mathrm{S}_{\mathrm{3}} = 7,\, \mathrm{a}_{\mathrm{3}} = 1$，则 ( )

A. $\mathrm{q} = \frac{1}{2}$

B. $a_{\mathrm{5}} = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}$

C. $\mathrm{S}_{\mathrm{5}} = 8$

D. $\mathrm{a}_{\mathrm{n}} + \mathrm{S}_{\mathrm{n}} = 8$

10、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)= $(\mathrm{x}^{2} - 3)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} + 2$，则 ( )

A. f(0)=0

B. 当x<0时，f(x)=- $(\mathrm{x}^{2} - 3)\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}$-2

C. f(x) ≥ 2，当且仅当x ≥ $\sqrt{\mathrm{3}}$

D. x =-1 是f(x) 的极大值点

11、双曲线$ C: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}} - \frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}} $= 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别是F₁,F₂，左、右顶点分别为A₁,A₂, 以F₁F₂ 为直径的圆与曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点，且∠NA₁M = $\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{6}}$，则( )

A. ∠A₁MA₂ = $\frac{\pi}{\mathrm{6}}$

B. $|\mathrm{M}\mathrm{A}_{\mathrm{1}}| = 2|\mathrm{M}\mathrm{A}_{\mathrm{2}}|$

C. C 的离心率为$\sqrt{\mathrm{13}}$

D. 当a = $\sqrt{\mathrm{2}}$ 时，四边形NA₁MA₂ 的面积为8$\sqrt{\mathrm{3}}$

三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分

12、已知平面向量a = (x,1),b = (x - 1,2x)，若a ⊥ (a - b)，则|a|= .

13、若x = 2 是函数f(x) = (x - 1) (x - 2) (x - a) 的极值点，则f(0) = .

14、一个底面半径为4 cm ，高为9 cm 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm.

四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15、（13 分）

已知函数$f(\mathrm{x}) = \mathrm{cos}\left(2\mathrm{x} + \varphi\right) \left(0 \leqslant \varphi < \pi\right), f(0) = \frac{1}{2}$.

（1）求φ；

（2）设函数g(x)= $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}-\dfrac{\pi}{6}\right)$，求g(x) 的值域和单调区间.

16、（15 分）

已知椭圆$C: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}} + \frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}$= 1(a > b > 0) 的离心率为$\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}$，长轴长为4,

（1）求C的方程；

（2）过点(0,-2)的直线l与C交于A、B两点，O为坐标原点.若ΔOAB的面积为$\sqrt{\mathrm{2}}$，求|AB|.

17、（15 分）

如图，四边形ABCD 中，AB//CD,∠DAB = 90°，F 为CD 中点，E 在AB 上，EF//AD，AB = 3AD,CD =2AD，将四边形EFDA 沿EF 翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A' 与面EFCB 所成的二面角为60°.

（1）证明：A'B // 平面CD'F.

（2）求面BCD'与面EFD'A'所成二面角的正弦值.

18、（17 分）

已知函数$f(\mathrm{x}) = \ln(1+\mathrm{x}) - \mathrm{x} + \frac{1}{2}\mathrm{x}^{2} - k\mathrm{x}^{3}$，其中$0 < \mathrm{k} < \frac{1}{3}$.

（1）证明：f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；

（2）设x₁,x₂分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点.

（i）设函数g(t)= f(x₁+t)- f(x1-t),证明：g(t)在区间 (0,x₁)单调递减；

（ii）比较2x₁ 与x₂ 的大小，并证明你的结论.

19、（17 分）

甲、乙两人进行兵兵球练习，每个球胜者得1 分、负者得0 分. 设每个球甲胜的概率为p($\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}$<p<1)，乙胜的概率为q，p + q = 1，且各球的胜负相互独立，对正整数k ≥ 2，记p_k 为打完k 个球后甲比乙至少多得2分的概率，q_k 为打完k 个的球后乙比甲至少多得2 分的概率.

（1）求p₃,p₄ （用p 示）

（1）若$\frac{\mathrm{p}_{\mathrm{4}} - \mathrm{p}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{q}_{\mathrm{4}} - \mathrm{q}_{\mathrm{3}}}$= 4，求p；

（1）证明：对任意正整数m,$\mathrm{p}_{\mathrm{2m+1}} - \mathrm{q}_{\mathrm{2m+1}} < \mathrm{p}_{\mathrm{2m}} - \mathrm{q}_{\mathrm{2m}} < \mathrm{p}_{\mathrm{2m+2}} - \mathrm{q}_{\mathrm{2m+2}}$.